Лобачевского Пространство

Пространство, геометрия которого определяется аксиомами Лобачевского геометрии.

В более широком смысле Лобачевского Пространство понимается как неевклидово гиперболическое Пространство, определение которого связано с понятиями геометрии псевдоевклидова пространства.

Пусть nRn+1 — псевдоевклидово (n+1) -пространство индекса n ;на n-сфере этого пространства рассматривается множество пар диаметрально противоположных точек. Множество элементов, изометричное множеству пар указанных выше точек n-сферы пространства nRn+1, называли N-пространством Лобачевского  обозначается 1Sn. Такое определение Лобачевского Пространства позволяет вшпочить это пространство в проективную классификацию неевклидовых пространств.

Пространство 1Sn в проективном пространстве распределительная пространство изображается внутренней областью овальной ( п-1)-квадрики, которая является пересечением n-сферы мнимого радиуса с бесконечно удаленной плоскостью пространства nRn+1, дополняющей это пространство до проективного пространства Pn+1. Точки овальной ( п-1)-квадрики являются бесконечно удаленными точками пространства 1Sn, то есть квадрика является абсолютом этого пространства. Внешняя область квадрики, дополняющая пространство 1Sn до полного пространства Распределительная подстанция называется идеальной областью пространства 1Sn. Указанная интерпретация называется проективной интерпретацией К э л и — Клейна. Она может быть получена также путем проектирования n-сферы мнимого радиуса пространства nRn+1 из ее центра на касательную n-плоскость, которая является евклидовым n-пространством; при этом пространство 1Sn изображается внутренней областью n-шара в этой n-плоскости, граница n-шара является абсолютом пространства 1Sn (иногда последнюю интерпретацию пространства 1Sn в евклидовом пространстве Rn наз. Интерпретацией Бельтрами — К л е й н а).

Проективная интерпретация 3-простран’ства Лобачевского позволяет проверить выполнение аксиом геометрии Лобачевского, дать изображение всех фигур этой геометрии и установить их свойства. В частности, в указанной интерпретации просто устанавливаются геометричность Свойства 2-плоскости Лобачевского, вытекающие из аксиом геометрии Лобачевского. Присоединением к пространству lSn точек абсолюта и точек идеальной области определяется расширенное Лобачевского Пространство m-плоскость, mклассифицируются прямые пространства 1Sn. Полюсы собственных плоскостей являются идеальными точками, а собственные точки — полюсами идеальных плоскостей. Вообще, полярные (n- т-1)-плоскости собственных m-плоскостей Лобачевского Пространство 1Sa суть идеальные (n-т-1)-плоскости, и полярные (n- т-1)-плоскости идеальных m-плоскостей — собственные (n- т-1)-плоскости. В пространстве 1Sn в качестве координат точки X можно рассматривать координаты вектора жэтой точки в пространстве nRn+1, принадлежащей n-сфере мнимого радиуса. Координаты вектора x (Вейерштрасса координаты). При этом должны удовлетворять условию Используются также координаты Бельтрами, . причем В пространстве 1Sn вводятся декартовы координаты u1, u2, . . ., un, связанные с координатами х i соотношениями где — радиус кривизны пространства 1Sn. Расстояние между точками X и Y определяется соотношением где х, у — определенные выше векторы точек X и У, Е — линейный оператор, определяющий скалярное произведение в пространстве этих векторов. 

Угол между двумя плоскостями Лобачевского Пространство 1Sn совпадает с углом между re-плоскостями псевдоевклидова пространства nRn+1, соответствующим этим плоскостям. Угол j между плоскостями связан с расстоянием между полюсами этих плоскостей соотношением когда угол j — действительный, а — чисто мнимое, и когда угол j — чисто мнимый, а расстояние — действительное. Расстояние между точками и величины углов между плоскостями допускают выражения через двойное отношение точек с помощью точек абсолюта. В Лобачевского Пространство 1Sn определяются сферы (шары), эквидистантные поверхности, орисферы (орициклы при n=2), m-симплексы и так далее классификация движений Лобачевского Пространство 1Sn как коллинеаций, переводящих точки абсолюта (овальной квадрики) в себя, сводится к классификации вращений псевдоевклидова пространства nRn+1. Группа движений пространства 1Sn изоморфна факторгруппе группы вращений пространства nRn+1 по ее подгруппе, состоящей из тождественного преобразования и отражения от точки; состоит из двух связных компонент, является группой Ли. Движения Лобачевского Пространство 1Sn описываются псевдоортогональными операторами индекса n. Для задания движения пространства 1Sn достаточно указать, в какие точки переходят n+1 точек, не лежащих в одной ( п-1)-плоскости. Существует ряд конформных интерпретаций Лобачевского Пространства, одной из которых является Пуанкаре интерпретация. 

Возможна также конформная интерпретация пространства на его плоскости. Кроме указанных существуют интерпретации в комплексных пространствах. В частности, для пространства 1S3 строятся Котелъникова интерпретации многообразий прямых. С помощью проективных интерпретаций наиболее полным образом классифицируются квадрики в пространстве 1Sn и, в частности, на 2-плоскости 1S2. Пространство 1Sn является римановым n-пространством постоянной отрицательной кривизны где — радиус кривизны пространства. Геометрия Лобачевского Пространства в достаточно малых окрестностях точек близка к геометрии евклидова пространства такой же размерности. В целом пространство 1Sn гомеоморфно пространству Rn, оно бесконечно простирается во всех направлениях. Всякая m-плоскость пространства 1Sn, mклассификации метрик неевклидовых пространств Лобачевского Пространства также классифицируется по метрикам прямых, пучков плоскостей и m-плоскостей. В частности, на 2-плоскости Лобачевского Пространства проективная метрика на прямой является гиперболической, а в пучках прямых — эллиптической. 

Ссылка на источник (согласно статье 1274 ГК РФ указанный текст является цитированием опубликованного материала).

Автор публикации

не в сети 1 неделя

Просвещение и прогресс

0

Комментарии: 0Публикации: 225Регистрация: 15-08-2021